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FFT分析とウェーブレット解析の違い

ウェーブレット解析の計算原理

周期的な運動では、少なくとも1周期以上観測しなければどのような運動かわからない、かといってあまり、多くの周期について観測すると、平均化されてしまう。

つまり、時間周波数の窓を通して、この運動を表す関数を見た場合、高い振動数のところでは、時間を短くしなければ何周期も見ることになり、逆に低い振動数のところでは、時間を長くしないと1周期分が見られない。時間周波数の窓の面積は変えられなくても(フーリエ解析の不確定性原理:時間と周波数について同時には精度はあげられない)、その窓の形を変えることが出来るのが、ウェーブレット変換である。

――>そこで、ウェーブレット変換は、その操作を行なうための関数を用いる。
ある波形からマザーウエーブレット(motherwavelet)と呼ばれている波形と相似な波形だけを抽出する。一種のフィルターのようなものです。マザーウエーブレットΨ(t)は既存のものを使用してもいいし,自分で定義して使用することもできる。

このマザーウエーブレットをスケール(伸縮),トランスレート(平行移動)することによって,解析する波形中のこれと相似な様々なスケールの波形を,時間軸情報を失うことなく抽出することができる。以上のことを示したウエーブレット変換の定義式が次式です。


積分の範囲は,-∞から∞となっているが,マザーウエーブレットがサポートコンパクトである為,-∞から∞まで計算する必要はない。

W(a,b)は、ウエーブレット係数(以下ではW係数と示す)と呼ばれ,マザーウエーブレットΨ(t)との相似性の強さを示す量である。また,Ψ(t)の上の棒は複素共役であることを示している。W係数は,自身の情報のほかに,スケール情報と時間情報の2つの情報を持っているので,スケールと時間を軸に,W係数を高さとする等高線として結果を出力する。


(注)スケール(伸縮)とトランスレート(平行移動)

■スケール(伸縮)
 スケールはマザーウエーブレットを横にビローンと伸ばしたり,ギュッと押し縮めたりすること。
 → これによって,周期(周波数)を変化させることができる。
式を[ Ψ(t) → Ψ(t/a) ]とすれば,幅がa倍され,この操作になる。



■トランスレート(平行移動)
トランスレートはマザーウエーブレットの中心位置をt軸上で左右に動かすこと。
 →これによって,任意の時間の相似な波形を取り出すことができる。
式を[ Ψ(t) → Ψ(tーb) ]とすれば,中心位置がtの正の方向にbだけ移動する。

※マザーウエーブレットはこの2つの操作を組み合わせて使われる。
 →2つを組み合わせることで任意の時間のマザーウエーブレットと相似な波形を見つけることができる。

式を[ Ψ(t) → Ψ(t-b/a) ]にする


(マザーウエーブレットの例)
マザーウエーブレットの例を示します。
・モルレーのウエーブレットである。



(実線は実部,点線は虚部を示している。)